Simetria significa indistingibilitat. El grau de simetria significa un nivell d’indistingibilitat Per exemple, a la Figura 1 A podem permutar (intercanviar) qualsevol punt groc (píxel) amb qualsevol altre i no ocorrerà cap canvi. La imatge romandrà simètrica (invariable) a aquests canvis. Canviar els punts no marca la diferència. En canvi, la Figura 1B canviarà completament després de la substitució arbitrària d’un conjunt major de punts. Només per a un subconjunt d’aquests reemplaçaments (per exemple, punts foscos amb altres punts foscos idèntics, o punts grocs amb punts grocs idèntics) la imatge seguirà sent la mateixa. L’intercanvi de punts marca la diferència. Llavors, diem que el panell B té una simetria trencada pel que fa al panell A. S’observa que és la pèrdua o ruptura de la simetria la que revela la presència d’una estructura. El panell A posseeix una estructura. Estructura significa distingibilitat.  La ruptura de la simetria és el que succeeix quan es crea una estructura a partir d’un camp homogeni no estructurat.

Figura 1.A. Cada punt groc (píxel) al camp pot ser reemplaçat per qualsevol altre i res canviarà, el camp seguirà sent el mateix. Quan es reemplacen (transformen, varien, canvien) els components de l’objecte i l’objecte encara roman sense canvis (invariant) diem que és simètric respecte a aquestes transformacions. La imatge original i la transformada seran indistingibles.

Figura 1.B. En aquest cas, el reemplaçament arbitrari dels punts en el camp resultarà en la pèrdua de l’estructura i del significat de la imatge. La imatge original i la transformada es distingiran. Com les transformacions (reemplaçaments de punts) canviaran l’objecte, diem que no és simètric respecte a aquestes transformacions. La seva simetria està trencada.

Simetria, ruptura de simetria i informació

Imagina que et dirigeixes a visitar un amic teu. Lentament et veus envoltat d’una densa boira (Figura 2.A). Gires el cap i tot el cos per orientar-te, en va. Tot sembla igual. Cap direcció és distingible de qualsevol altra. Mires al teu voltant sense trobar diferències . Estàs perdut en la simetria. Et sents incòmode perquè no hi ha informació rellevant per guiar les teves decisions i accions. Les teves decisions-accions estan estancades. Tot d’una, es produeix una petita taca de boira menys densa i la simetria es trenca (Figura 2.B). Hi ha una estructura. La llum ambiental estructurada informa ara per poder prendre les teves decisions i accions.

Figura 2.A. La boira densa és simètrica respecte a les teves accions i percepcions. Pots mirar al teu voltant, caminar cap a endavant o cap enrere, cap a l’esquerra o cap a la dreta, però tot es veu igual. La simetria no et permet guiar les teves accions. No hi ha una direcció preferida per caminar. No pots decidir cap a on anar.

Figura 2.B. A mesura que la boira es torna menys densa, la simetria es trenca i es forma una estructura circumdant. Ara, l’estructura de la llum ambiental pot guiar les seves decisions i accions. Esculls una direcció per caminar guiada pel teu sistema de decisió i acció.

La informació està vinculada a la simetria. L’alt nivell de simetria (boira densa) no permet el flux d’ informació. Nivells més baixos de simetria signifiquen existència d’estructura i habiliten la informació. Aquesta informació guia les decisions que s’han de prendre i les accions que s’han de realitzar. De manera similar, a la Figura 1.B, la seva forma i posició especifiquen com es poden assolir i agafar.

Considera que estàs en mar obert. Pots distingir només la direcció d’amunt i avall. A dalt hi ha el cel blau i avall hi ha l’aigua. Aquesta distinció de dalt a baix (simetria trencada) es deu al gradient de gravetat o la força. No obstant això, la línia de l’horitzó és indistingible. No podràs distingir l’est de l’oest i el nord del sud només mirant al teu voltant (hi ha simetria rotacional de la línia de l’horitzó). Miris on miris, el cel toca el mar a l’horitzó. Tot sembla igual. Durant el dia, només la posició del sol trenca aquesta simetria rotacional i ajuda a identificar les direccions de les nostres accions. Durant la nit, són les estructures estel·lars (constel·lacions) les que utilitzem per orientar les nostres accions. Un mitjà visual no tan directe per orientar-se en mar obert és la brúixola, perquè utilitza la simetria espacial trencada (nord-sud) que crea el camp magnètic de la Terra. És aquesta simetria trencada la que indueix l’estructura pel que fa a les rotacions al voltant de l’eix vertical del nostre propi cos. Aquesta estructura és portadora d’informació que guia les nostres accions. També guia les accions de molts animals, com balenes i ocells.

Escala de simetria en geometria

La simetria d’escala manté indistingible la forma de figures i objectes mentre canvia la seva grandària. Si multipliquem el radi del cercle per algun factor, llavors la mida del cercle augmentarà però la forma seguirà sent un cercle. Això es diu simetria d’escala. El mateix és vàlid per a qualsevol objecte geomètric, corba o camp.

Simetria i ruptura de simètrica (reordenament) en geometria

El cercle (Figura 3.A) té la major simetria de les figures bidimensionals. De forma anàloga, l’esfera té el major grau de simetria dels objectes tridimensionals. Per què? Perquè romanen igual per a qualsevol transformació a la qual els sotmetem. Per exemple, per a qualsevol grau de rotació (de fet, infinitesimal), el cercle o l’esfera romandran igual. Per a qualsevol línia recta (eix) que passi pel seu centre i els divideixi en dues meitats, aquestes meitats tindran el mateix aspecte. Els cercles i esferes contenen un nombre infinit de simetries especulars.

Figura 3. A. Es pot rotar el cercle per a angles arbitràriament petits sense notar la diferència. Té una simetria rotacional contínua. El cercle roman igual (invariant) per a qualsevol mida de rotació. De manera similar, hi ha un nombre infinit d’eixos per als quals el cercle tindrà dues meitats iguals (simetria especular). B i C, l’hexàgon i el triangle tenen una simetria discreta. No romanen iguals per rotacions contínues. Tenen una simetria trencada pel que fa al cercle. El triangle té una simetria trencada pel que fa al cercle i a l’hexàgon.

Aquest no és el cas de l’hexàgon (Figura 3.B). Només per a cert conjunt de rotacions (de fet, múltiples de 60) l’hexàgon es veurà igual. També el conjunt de simetries especulars és més petit que el del cercle. Té 6 simetries de reflex de mirall. El triangle té fins i tot menys simetries que l’hexàgon. Diem que l’hexàgon té simetria trencada (ordre inferior) en comparació amb el cercle i que el triangle té simetria trencada o d’ordre inferiors que l’hexàgon i el cercle.

Mentre que en el cas del cercle (i l’esfera) no hi ha rotacions i reflexos mirall preferits, en figures i cossos amb simetries trencades si que n’hi ha, com hem vist anteriorment. Les preferències estan connectades amb simetries trencades. De fet, les estructures atòmiques i moleculars sorgeixen com a conseqüència de la simetria esfèrica trencada de la distribució espacial dels anomenats núvols d’electrons.

Els cristalls a la natura són continuacions macroscòpiques ben conegudes de les realitzacions esmentades anteriorment de la ruptura de la simetria de la simetria esfèrica màxima en els nivells atòmic i molecular de la realitat.

La simetria de l’aigua tranquil·la, sota l’impuls de so extern, es trenca i sorgeixen patrons d’ones: aquests patrons contenen simetries complexes però d’un ordre inferior a l’aigua completament simètrica que pertany a l’aigua tranquil·la. Són inestables i l’estat estable és el completament simètric (és a dir, el no pertorbat) perquè a mesura que la unitat externa s’esvaeix, el patró també s’esvaeix. L’estat simètric sense pertorbacions és l’atractor de l’aigua quan la conducció externa està apagada.

Simetria de permutació i ruptura de simetria en llenguatge, lògica i música

Penseu en els dos casos següents:

a. Declaracions com: X és un germà de Y i Y és un germà de X; té el mateix significat correcte, perquè “ser germà” és una relació simètrica si X i Y són homes. Si algú que és home és un germà per a mi, vol dir que jo soc necessàriament un germà per a ell; no obstant, declaracions com:

b. X és mare de Y i Y és mare de X no tenen tots dos el mateix significat correcte, perquè “ser mare” és una relació asimètrica. Si X és la mare de Y, llavors Y pot ser un fill o filla de X, però no una mare.

Llavors, en el cas (a) podem intercanviar (permutar) els llocs de X i Y i el significat seguirà sent el mateix. No obstant, en el cas (b) això no es pot fer. Per tant, en el primer cas diem que l’enunciat conté una simetria de permutació (indistingibilitat de significat) pel que fa a la transformació dels llocs de les variables X i Y, i en el segon cas que la simetria es trenca.

C. La melodia musical és un patró amb simetria trencada pel que fa a les permutacions de notes i la seva sincronització. Malgrat això, la melodia és simètrica (invariant) pel que fa a l’energia (volum) del so. La melodia roman igual si la toques molt baix, moderadament alt o molt alt (per descomptat, amb alguns límits en els extrems). La informació no depèn de l’energia.

Sinergies i simetria

Les sinergies en els sistemes biològics són fenòmens quan els components de sistema treballen junts (es sinergetitzen ) de tal manera que es compensen recíprocament entre si per mantenir el rendiment previst de sistema.

Per exemple, hi pot haver un nombre infinit de combinacions de forces que els músculs i tendons de dos dits poden exercir amb el rendiment de 10 Newtons constant. Per exemple, 10 = 5 + 5, però també 10 = 6 + 4 o 10 = 4 + 6 o 10 = 7.3 +2.7 (Newtons).

Un altre exemple és mantenir constant la massa corporal mitjançant una compensació del consum i despesa de la mateixa quantitat de calories.

Llavors, sempre que la suma es mantingui constant per diferents valors dels sumands, hi ha una simetria respecte a algun grup additiu de nombres.

Conservació de propietats físiques i simetries

Tots sabem que en sistemes que conserven energia (E), l’E total pot transformar-se de potencial V a energia cinètica K i viceversa, de manera que: E = K + V. En col·lisions de sistemes que conserven l’energia, els moments de cossos en col·lisió separats canvia, però la seva suma total segueix sent la mateixa. Aquestes lleis de conservació estan associades a simetries de translació en el temps i l’espai. A més, la conservació de moment angular està associada amb simetries de rotació espacial. En general, la conservació (invariància) d’algunes altres propietats físiques (per exemple, la càrrega) i les lleis de conservació de la física està relacionada amb certes simetries.

La creació de forces físiques elementals en l’Univers incipient

En física, les simetries i la seva ruptura juguen un paper important. Entre altres, la creació de forces físiques elementals (les forces nuclears fortes i febles, la força electromagnètica i la gravetat) en l’univers molt incipient, s’han separat com a forces distingibles en una sèrie de transicions de fase produïda per una ruptura de simetria espontània en cascada, impulsada per la disminució de la temperatura en un Univers en ràpida expansió. En aquest procés, l’estat inicial indistingible d’interaccions va donar pas a tipus separats de forces que avui en aquest estat de baixa energia donen forma als processos a nivell físic elemental. A més, el sorgiment de la massa en repòs de partícules elementals, el sorgiment de nucleons (protons i neutrons) com a estats lligats de quarks i altres moments importants en l’univers incipient, es deu a tipus especials d’esdeveniments espontanis que trenquen la simetria. Aquests processos espontanis de ruptura de simetria són els responsables que el nostre món físic i el nostre univers siguin com els observem ara.

El gradient de gravetat frena la simetria direccional

La gravetat frena la simetria rotacional de l’espai local. Podem triar entre moure’ns lliurement d’esquerra a dreta, cap endavant i cap enrere, però no de dalt a baix. Si saltem, ràpidament serem arrossegats cap avall en contra del nostre desig. La ruptura de la simetria, i la direcció preferida (dalt-baix), és induïda pel gradient de potencial gravitacional del nostre planeta. Per restaurar la nostra llibertat d’elecció ( i en conseqüència, la simetria) haurem d’aplicar grans quantitats d’energia per contrarestar aquest gradient. És per això que la direcció del flux dels rius, cascades i pluja es dirigeix de dalt a baix. Els moviments estructurats amb direccionalitat preferent són conseqüència d’una simetria trencada.

No obstant això, l’energia del sol aconsegueix contrarestar aquest gradient proporcionant una major llibertat de moviment (simetria) a les molècules d’aigua en evaporació.

Simetria i ruptura de simetria en els nivells químic, biològic, psicològic i social de la realitat

En el text anterior hem discutit breument per què la ruptura de la simetria és important per a la creació d’estructures i forces naturals elementals com protons i neutrons. No obstant això, la simetria i la ruptura de la simetria donen lloc a moltes més estructures i fenòmens, no només els físics. Com s’ha dit al principi d’aquest capítol, els estats homogenis són estats de simetria (vegeu la Figura 1 A i les seves explicacions). En sistemes químicament homogenis, en algun punt crític del context canviant, sorgeixen ruptures de simetria i, en conseqüència, fenòmens dinàmics, com oscil·lacions, en què les concentracions de dos productes químics canvien periòdicament o produeixen ones espacials.

En els sistemes biològics, la simetria bilateral feblement trencada del cos és un fet ben conegut. A més, la morfogènesi és un procés en el qual, a través de la simetria, la ruptura d’un estat homogeni de la població cel·lular comença a prendre una forma definida. Els patrons de pelatge de color en animals també sorgeixen com a conseqüència de la ruptura espontània de la simetria de l’estat homogeni previ de distribució de pigments. La presa de decisions, la formació de l’acció o, de fet, l’adopció de qualsevol criteri, valor, preferència, actitud a nivell psicològic o sociològic és una bifurcació que trenca la simetria, sorgida de l’estat desestructurat anterior. Pel fet que  les estructures sorgeixen d’esdeveniments de ruptura de simetria i les estructures signifiquen informació, veiem com la ruptura de simetria és responsable de crear informació en tots els nivells de la realitat.

Simetria i ruptura de simetria en esports i activitats físiques

1. Penseu en dos o més atletes corrent a la mateixa velocitat. Encara que canviïn la distància des del punt inicial o final, la seva distància interpersonal no canvia. Roman invariable pel que fa als canvis de distància des del punt inicial o final de la cursa. La distància interpersonal posseeix simetria respecte a aquestes transformacions. El mateix és vàlid si tots els atletes comencen a accelerar simultàniament. No obstant això, la simetria es trencarà si alguns atletes canvien la velocitat i altres no. Llavors es produirà una reestructuració de la formació de la cursa.

2. Penseu en el problema de l’scouting i l’anàlisi del rendiment en els esports. Si no importa quin jugador jugarà en quina posició, llavors hi ha simetria pel que fa a l’intercanvi (permutació) dels rols dels jugadors. Tots sabem que aquest no és el cas. Els diferents rols necessiten jugadors amb diferents propietats i habilitats. Els éssers vius no són idèntics. En aquest sentit, la simetria permutacional es trenca i comporta la necessitat de recopilar molta més informació sobre les propietats del jugador que si hi hagués simetria respecte als seus rols en el camp. Recordeu que si els jugadors fossin idèntics, la informació personal sobre cadascun d’ells no seria important. La informació per a una persona seria suficient. Les propietats dels jugadors com a constrenyiments, creen un context important dins el qual es desenvolupa el joc. És per això que l’scouting i l’anàlisi del rendiment són importants en els esports i altres sectors del rendiment humà.

3. A més, durant el partit, els canvis de posició dels jugadors no provoquen una mateixa acció. Diferents canvis en l’estructura dels jugadors provoquen diferents decisions i, en conseqüència, accions en el camp. L’estructura ambiental i el seu canvi són importants per a les nostres decisions i accions. No són invariants (simètrics) respecte als canvis de l’entorn.

4. Penseu en una situació esportiva col·lectiva en què tots els vostres companys d’equip estiguin ben marcats pels oponents i que esteu en possessió de la pilota. L’acció de cada company d’equip està totalment compensada per les accions de l’oponent. Veus el mateix entorn on sigui que miris. Tots els teus companys estan ben marcats. Aquest és un estat simètric del sistema. No sorgeix cap oportunitat passatgera. Per tant, no comença cap joc. La situació està estancada. Llavors, un dels teus companys d’equip aconsegueix desmarcar-se. Es produeix una fluctuació (desviació) de l’estat simètric. Li passes la pilota. La simetria es trenca i el joc comença de nou. El joc es basa en fluctuacions i trencament de simetries.

Però la simetria anterior es pot simplement reorganitzar en dos (o més) estats simètrics igualment atraients. Dos jugadors es desmarquen simultàniament i la seva decisió pot tornar a quedar estancada, al menys per un moment; un exemple del problema de l’ase de Buridan en els esports. En casos simètrics, el sistema generalment canvia a un dels estats inicials a causa de qualsevol esdeveniment aleatori. Llavors, tot i que hi ha dos estats igualment atractius, selecciona la solució conductual de forma espontània, es diria, per casualitat, relaxant-se en un dels estats igualment atraients. Això s’anomena ruptura espontània de la simetria perquè no hi ha una restricció clarament discernible que obligui el sistema a preferir una de les solucions més que l’altra. Aquest tipus de bifurcació està relacionada amb el que es coneix com una transició de fase de segon ordre o una bifurcació en forqueta.

No obstant això, generalment hi ha un biaix en les restriccions informatives. Els esdeveniments estan connectats al que es coneix com una transició de fase de primer ordre o una bifurcació de node cadira. En aquest cas, l’asimetria és induïda en el sistema per algun paràmetre de control d’asimetria. Aquest tipus de ruptura de simetria s’anomena ruptura de simetria forçada, perquè algun tipus de biaix obliga el sistema a contenir solucions de comportament asimètriques. En l’àmbit esportiu, un exemple d’aquest tipus de ruptura de simetria sorgiria quan un dels companys d’equip té una millor posició per anotar un punt que l’altre. La diferència de posicions dels dos companys indueix un biaix que condiciona la decisió del posseïdor de la pilota, de manera que passa la pilota al què està més ben posicionat. La posició diagonal en les arts marcials també pot tenir un paper de paràmetre de frenat de simetria, és a dir, una restricció inductora de biaix, el que obliga que es facin servir més els cops amb la mà esquerra o dreta, respectivament.

En els sistemes de ruptura de simetria forçada sorgeix un efecte interessant: la histèresi. Es produeix, segons l’exemple anterior, quan el jugador que està en possessió de la pilota segueix passant la pilota a un dels companys encara que un altre es trobi en una posició millor per marcar.  Es a dir, s’encalla passant-li la pilota al primer company ignorant que n’hi ha un que té una millor posició per anotar. Aquest tipus d’inèrcia o memòria és típic de sistemes amb ruptura de simetria forçada.

Simetria i ruptura de simetria … en general

Qualsevol obra d’art trenca la simetria, l’homogeneïtat i l’aleatorietat i crea estructures espai-temporals amb patrons. Crea informació. És la formació de patrons a través de la ruptura de la simetria el que unifica la humanitat amb la divinitat.

En aquest sentit, es pot considerar que tots els processos, estructures i productes funcionals naturals i fets per l’home provenen d’una mateixa font. Aquest mecanisme està en funció des dels moments inicials del nostre univers quan es van crear forces elementals a través de la ruptura de la simetria, donant lloc a patrons físics i químics, patrons de defensa i atac en partits esportius, patrons narratius en novel·les, patrons multinivell musicals i arquitectònics. Els fenòmens naturals, psicològics i socials es tornen un.