Ruptura de simetría-simetría (reordenamiento)

Simetría significa indistinguibilidad. El grado de simetría significa el nivel de indistinguibilidad. Por ejemplo, en la Figura 1 A podemos permutar (intercambiar) cualquier punto amarillo (píxel) con cualquier otro sin que ocurra ningún cambio. La imagen permanecerá simétrica (invariable) a tales cambios. Cambiar los puntos no marca la diferencia. Por el contrario, la Figura 1B cambiará completamente después del reemplazo arbitrario de un conjunto mayor de puntos. Solo para un subconjunto de dichos reemplazos (por ejemplo, puntos oscuros con otros puntos oscuros idénticos, o puntos amarillos con puntos amarillos idénticos) la imagen seguirá siendo la misma. El intercambio de puntos marca la diferencia. Entonces, decimos que el panel B tiene una simetría rota con respecto al panel A. Se observa que lo que revela la presencia de una estructura es la pérdida o ruptura de la simetría. El panel A posee una estructura. Estructura significa distinguibilidad. La ruptura de la simetría es lo que sucede cuando se crea una estructura a partir de un campo homogéneo no estructurado.

Figura 1. A. Cada punto amarillo (píxel) en el campo puede ser reemplazado por cualquier otro y nada cambiará, el campo seguirá siendo el mismo. Cuando uno reemplaza (transforma, varía, cambia) los componentes del objeto, y el objeto aún permanece sin cambios (invariante), decimos que es simétrico con respecto a esas transformaciones. La imagen original y la transformada serán indistinguibles.

B. En este caso, el reemplazo arbitrario de los puntos en el campo producirá la pérdida de la estructura y del significado de la imagen. La imagen original y la transformada se distinguirán. Como las transformaciones (reemplazos de puntos) cambiarán el objeto, decimos que no es simétrico con respecto a esas transformaciones. Su simetría está rota.

Simetría, ruptura de simetría e información

Imagina que te diriges a visitar a tu amigo. Lentamente te ves rodeado de una densa niebla (Figura 2 A). Rotas el cuello y todo el cuerpo para orientarte, en vano. Todo parece igual. Cada dirección es indistinguible de cualquier otra. Miras a tu alrededor sin encontrar diferencias. Estás perdido en la simetría. Te sientes incómodo porque no existe información relevante para guiar tus decisiones y acciones. Tus decisiones-acciones están estancadas. De repente, se produce una pequeña mancha de niebla menos densa y la simetría se rompe (Figura 2 B). Existe una estructura. La luz ambiental estructurada informa y guía ahora tus decisiones y acciones.

Figura 2. A. La niebla densa es simétrica con respecto a tus acciones y percepción. Puedes mirar a tu alrededor, caminar hacia adelante o hacia atrás, hacia la izquierda o hacia la derecha, pero todo se ve igual. La simetría no te permite guiar tus acciones. No existe una dirección preferida para caminar. No puedes decidir adónde ir.

B. A medida que la niebla se vuelve menos densa, la simetría se rompe y se forma una estructura circundante. Ahora, la estructura de la luz ambiental puede guiar sus decisiones y acciones. Escoges una dirección para caminar guiada por tu sistema de decisión y acción.

La información está vinculada a la simetría. El alto nivel de simetría (niebla densa) no permite el flujo de información. Niveles más bajos de simetría significan existencia de estructura y habilitan la información. Esta información específica las decisiones que se deben tomar y las acciones que se deben realizar. De manera similar, en la Figura 1 B, la estructura de los plátanos, su forma y posición especifican cómo se pueden alcanzar y agarrar.

Considera que estás en mar abierto. Puedes distinguir solo la dirección de arriba y abajo. Arriba está el cielo azul y abajo está el agua. Esta distinción de arriba hacia abajo (simetría rota) se debe al gradiente de gravedad o la fuerza (consulte el texto a continuación). Sin embargo, la línea del horizonte es indistinguible por donde mires. No podrás distinguir el este del oeste y el norte del sur con solo mirar a tu alrededor (hay simetría rotacional de la línea del horizonte). Dondequiera que mires, el cielo toca el mar en el horizonte. Todo parece igual. Durante el día, solo la posición del sol rompe esta simetría rotacional y ayuda a identificar las direcciones de nuestras acciones. Durante la noche son las estructuras estelares (constelaciones) las que utilizamos para orientar nuestras acciones. Un medio visual no tan directo para orientarse en mar abierto es la brújula porque utiliza la simetría espacial rota (norte-sur) que crea el campo magnético de la Tierra. Es esta simetría rota la que induce la estructura con respecto a las rotaciones alrededor del eje vertical de nuestro propio cuerpo. Esta estructura es portadora de una información que guía nuestras acciones. También guía las acciones de muchas criaturas marinas y aéreas, como ballenas y pájaros.

Escala de simetría en geometría

La simetría de escala mantiene indistinguible la forma de figuras y objetos mientras cambia su tamaño. Si multiplicamos el radio del círculo por algún factor, entonces el tamaño del círculo aumentará, pero la forma seguirá siendo un círculo. Esto se llama simetría de escala. Lo mismo es válido para cualquier objeto geométrico, curva o campo.

Simetría y ruptura de simetría (reordenamiento) en geometría

El círculo (Figura 3A) tiene la mayor simetría de las figuras bidimensionales. De manera análoga, la esfera tiene el mayor grado de simetría de los objetos tridimensionales. ¿Por qué? Porque permanecen igual para cualquier transformación a la que los sometamos. Por ejemplo, para cualquier grado de rotación (de hecho, infinitesimal), el círculo o la esfera permanecerán igual. Para cualquier línea recta (eje) que pase por su centro y los divida en dos mitades, esas mitades tendrán el mismo aspecto. Los círculos y esferas contienen un número infinito de simetrías especulares.

Figura 3. A. Se puede rotar el círculo para ángulos arbitrariamente pequeños sin notar la diferencia. Tiene una simetría rotacional continua. El círculo permanece igual (invariante) para cualquier tamaño de rotación. De manera similar, hay un número infinito de ejes para los cuales el círculo tendrá dos mitades iguales (simetría especular). B y C, el hexágono y el triángulo tienen una simetría discreta. No permanecen iguales para rotaciones continuas. Tienen una simetría rota con respecto al círculo. El triángulo tiene una simetría rota con respecto al círculo y al hexágono.

Ese no es el caso del hexágono (Figura 3 B). Solo para cierto conjunto de rotaciones (de hecho, múltiplos de 60º) el hexágono se verá igual. También el conjunto de simetrías especulares es más pequeño que el del círculo. Tiene 6 simetrías de reflejo de espejo. El triángulo tiene incluso menos simetrías que el hexágono. Decimos que el hexágono tiene simetría rota (orden inferior) en comparación con el círculo, y que el triángulo, tiene simetría rota o de orden inferior que el hexágono y el círculo.

Mientras que en el caso del círculo (y la esfera) no hay rotaciones y reflejos espejo preferidos, en figuras y cuerpos con simetrías rotas si las hay, como hemos visto anteriormente. Las preferencias están conectadas con simetrías rotas. De hecho, las estructuras atómicas y moleculares surgen como consecuencia de la simetría esférica rota de la distribución espacial de las llamadas nubes de electrones.

Los cristales en la naturaleza son continuaciones macroscópicas bien conocidas de las realizaciones, mencionadas anteriormente, de la ruptura de simetría esférica máxima a nivel atómico y molecular de la realidad.

La simetría del agua en calma, bajo el impulso de sonido externo se rompe y surgen patrones de ondas: estos patrones contienen simetrías complejas, pero de un orden inferior al del agua completamente simétrica que pertenece al agua en calma. Son inestables y el estado estable es el completamente simétrico (es decir, el no perturbado) porque a medida que la unidad externa se desvanece, el patrón también se desvanece. El estado simétrico sin perturbaciones es el atractor del agua cuando la conducción externa está apagada.

Simetría de permutación y ruptura de simetría en lenguaje, lógica y música

Considere los siguientes dos casos:

a. Declaraciones como: X es un hermano de Y e Y es un hermano de X; tiene el mismo significado correcto, porque “ser hermano” es una relación simétrica si X e Y son hombres. Si alguien que es varón es un hermano para mí, significa que yo soy necesariamente un hermano para él; sin embargo declaraciones como:

b. X es madre de Y e Y es madre de X no tienen ambos el mismo significado correcto, porque “ser madre” es una relación asimétrica. Si X es la madre de Y, entonces Y puede ser un hijo o una hija de X, pero no una madre.

Entonces, en el caso (a) podemos intercambiar (permutar) los lugares de X e Y y el significado seguirá siendo el mismo. Sin embargo, en el caso (b) esto no se puede hacer. Por tanto, en el primer caso decimos que el enunciado contiene una simetría de permutación (indistinguibilidad de significado) con respecto a la transformación de los lugares de las variables X e Y, y en el segundo, que la simetría se rompe.

C. La melodía musical es un patrón con simetría rota con respecto a las permutaciones de notas y su sincronización. Sin embargo, la melodía es simétrica (invariante) con respecto a la energía (volumen) del sonido. La melodía permanece igual si la tocas muy bajo, moderadamente alto o muy alto (por supuesto, con algunos límites en los extremos). La información no depende de la energía.

Sinergias y simetría

Las sinergias en los sistemas biológicos son fenómenos cuando los componentes del sistema trabajan juntos (se sinergetizan) de tal manera que se compensan recíprocamente entre sí para mantener el rendimiento previsto del sistema.

Por ejemplo, puede haber un número infinito de combinaciones de fuerzas que los músculos y tendones de dos dedos pueden ejercer con el rendimiento de 10 Newtons constante. Por ejemplo, 10 = 5 + 5, pero también 10 = 6 + 4 o 10 = 4 + 6 o 10 = 7.3 +2.7 (Newtons).

Otro ejemplo es mantener constante la masa corporal mediante una compensación al consumir y gastar la misma cantidad de calorías.

Entonces, siempre que la suma se mantenga constante por diferentes valores de los sumandos, existe una simetría con respecto a algún grupo aditivo de números.

Conservación de propiedades físicas y simetrías

Todos sabemos que en sistemas que conservan energía, la energía total E puede transformarse de potencial V a energía cinética K y viceversa, de modo que: E = K + V. En colisiones de sistemas que conservan la energía, los momentos de cuerpos en colisión separados cambian, pero su suma total sigue siendo la misma. Estas leyes de conservación están asociadas a simetrías de traslación en el tiempo y el espacio. Además, la conservación del momento angular está asociada con simetrías de rotación espacial. En general, la conservación (invariancia) de otras propiedades físicas (por ejemplo, la carga) y las leyes de conservación de la física está relacionada con ciertas simetrías.

La creación de fuerzas físicas elementales en el Universo incipiente

En física, las simetrías y su ruptura juegan un papel importante. Entre otras, la creación de fuerzas físicas elementales (las fuerzas nucleares fuertes y débiles, la fuerza electromagnética y la gravedad) en el Universo incipiente y muy temprano, se han separado como fuerzas distinguibles en una serie de transiciones de fase en las que se produjo una ruptura de simetría espontánea en cascada impulsada por la disminución de la temperatura en un Universo en rápida expansión. En este proceso, el estado inicial indistinguible de interacciones dio paso a tipos de fuerzas separados que hoy, en este estado de baja energía, dan forma a los procesos a nivel físico elemental. Además, el surgimiento de la masa en reposo de partículas elementales, el surgimiento de nucleones (protones y neutrones) como estados ligados de quarks, y otros momentos importantes en el Universo temprano se debe a tipos especiales de eventos espontáneos que rompen la simetría. Estos procesos espontáneos de ruptura de simetría son responsables de que nuestro mundo físico y nuestro Universo sea como lo observamos ahora.

El gradiente de gravedad frena la simetría direccional

La gravedad frena la simetría rotacional del espacio local. Podemos elegir movernos libremente de izquierda a derecha hacia adelante y hacia atrás, pero no de arriba a abajo. Si saltamos, rápidamente seremos arrastrados hacia abajo en contra de nuestro deseo. La ruptura de la simetría, y la dirección preferida (arriba-abajo), es inducida por el gradiente del potencial gravitacional de nuestro planeta. Para restaurar nuestra libertad de elección (y en consecuencia, la simetría) tendremos que aplicar grandes cantidades de energía para contrarrestar ese gradiente. Es por eso que la dirección del flujo de los ríos, cascadas y lluvia se dirige de arriba hacia abajo. Los movimientos estructurados con direccionalidad preferente son consecuencia de una simetría rota.

Sin embargo, la energía del Sol logra contrarrestar este gradiente proporcionando una mayor libertad de movimiento (simetría) a las moléculas de agua en evaporación.

Simetría y ruptura de simetría en los niveles químico, biológico, psicológico y social de la realidad

En el texto anterior, discutimos brevemente por qué la ruptura de la simetría es importante para la creación de estructuras y fuerzas naturales elementales como protones y neutrones. Sin embargo, la simetría y la ruptura de la simetría dan lugar a muchas más estructuras y fenómenos que solo los físicos. Como dijimos al comienzo de este capítulo, los estados homogéneos son estados de simetría (consulta la Figura 1 A y sus explicaciones). En sistemas químicamente homogéneos, en algún punto crítico del contexto cambiante, surgen rupturas de simetría y, en consecuencia, fenómenos dinámicos, como oscilaciones, en los que las concentraciones de dos productos químicos cambian periódicamente o producen ondas espaciales.

En los sistemas biológicos, la simetría bilateral débilmente rota del cuerpo es un hecho bien conocido. Además, la morfogénesis es un proceso en el que, a través de la simetría, la ruptura de un estado homogéneo de la población celular comienza a tomar una forma definida. Los patrones de pelaje de color en animales también surgen como consecuencia de la ruptura espontánea de la simetría del estado homogéneo previo de distribución de pigmentos. La toma de decisiones, la formación de la acción o, de hecho, la adopción de cualquier criterio, valor, preferencia, actitud a nivel psicológico o sociológico es una bifurcación que rompe la simetría, surgida del estado desestructurado anterior. Debido a que las estructuras surgen de eventos de ruptura de simetría y las estructuras significan información, vemos cómo la ruptura de simetría es responsable de crear información en todos los niveles de la realidad.

Simetría y ruptura de simetría en deportes y actividades físicas

1. Considere a dos o más atletas corriendo con la misma velocidad. Aunque cambian la distancia desde el punto inicial o final, su distancia interpersonal no cambia. Permanece invariable con respecto a los cambios de distancia desde el punto inicial o final de la carrera. La distancia interpersonal posee simetría con respecto a estas transformaciones. Lo mismo es válido si todos los atletas comienzan a acelerar simultáneamente. Sin embargo, la simetría se romperá si algunos atletas cambian la velocidad y otros no. Entonces se producirá una reestructuración de la formación de carrera.

2. Considera el problema del scouting y el análisis del rendimiento en los deportes. Si no importa qué jugador jugará en qué posición, entonces hay simetría con respecto al intercambio (permutación) de los roles de los jugadores. Todos sabemos que este no es el caso. Los diferentes roles necesitan jugadores con diferentes propiedades y habilidades. Los seres vivos no son idénticos. En este sentido, la simetría permutacional se rompe y lleva a la necesidad de recopilar mucha más información sobre las propiedades del jugador que si hubiera simetría con respecto a sus roles en el campo. Tenga en cuenta que, si los jugadores fueran idénticos, la información personal sobre cada uno de ellos no sería importante. La información para una persona sería suficiente. Las propiedades de los jugadores, como constreñimientos, crean un contexto importante dentro del cual se desarrolla el juego. Es por eso que la exploración y el análisis del rendimiento son importantes en los deportes y otros sectores del rendimiento humano.

3. Además, durante el partido, los cambios de posición de los jugadores no provocan una misma acción. Diferentes cambios en la estructura de los jugadores provocan diferentes decisiones y, en consecuencia, acciones en el campo. La estructura ambiental y su cambio son importantes para nuestras decisiones y acciones. No son invariantes (simétricos) con respecto a los cambios en el entorno.

3. Considera una situación deportiva colectiva en la que todos tus compañeros de equipo estén bien marcados por los oponentes y tu estés en posesión del balón. La acción de cada compañero de equipo está totalmente compensada por las acciones del oponente. Ves el mismo entorno dondequiera que mires. Todos tus compañeros están bien marcados. Este es un estado simétrico del sistema. No surge ninguna oportunidad pasajera. Por lo tanto, no comienza ningún juego. La situación está estancada. Entonces, uno de sus compañeros de equipo logra desmarcarse. Se produce una fluctuación (desviación) del estado simétrico. Le pasas el balón. La simetría se rompe y el juego comienza de nuevo. El juego se basa en fluctuaciones y rompimiento de simetrías.

Pero la simetría anterior puede simplemente reorganizarse en dos (o más) estados simétricos igualmente atrayentes. Dos jugadores se demarcan simultáneamente y su decisión puede volver a quedar estancada, al menos por un momento; un ejemplo del problema del burro de Buridan en los deportes. En casos simétricos, el sistema generalmente cambia a uno de los estados iniciales debido a cualquier evento aleatorio. Entonces, aunque hay dos estados igualmente atrayentes, se selecciona la solución conductual de forma espontánea, se diría por casualidad, relajando uno de los estados igualmente atrayentes. A esto se le llama ruptura espontánea de la simetría porque no existe una restricción claramente discernible que obligue al sistema a preferir una de las soluciones más que la otra. Este tipo de bifurcación está relacionada con lo que se conoce como una transición de fase de segundo orden o una bifurcación en horquilla.

Sin embargo, existe generalmente un sesgo en los constreñimientos informativos. Tales eventos están conectados con lo que se conoce como transición de fase de primer orden o bifurcación de nodo silla. En este caso, la asimetría es inducida en el sistema por algún parámetro de control de asimetría. Este tipo de ruptura de simetría se llama ruptura de simetría forzada porque algún tipo de sesgo obliga al sistema a contener soluciones de comportamiento asimétricas. En el ámbito deportivo, un ejemplo de este tipo de ruptura de simetría surgiría cuando uno de los compañeros de equipo tiene una mejor posición para anotar un punto que otro. La diferencia de posiciones de los dos compañeros induce un sesgo que condiciona la decisión del poseedor del balón, que pasa el balón al que está mejor posicionado. La posición diagonal en las artes marciales también puede desempeñar un papel de parámetro de frenado de simetría, es decir, un constreñimiento inductor de sesgo, que obliga a que se usen más los golpes con la mano izquierda o derecha, respectivamente.

En los sistemas de ruptura de simetría forzada surge un efecto interesante: la histéresis. Se produce, según el ejemplo anterior, cuando el jugador/a que está en posesión del balón sigue pasándolo a uno de los compañeros/as, aunque otro/a adquiera una mejor posición para marcar. Es decir, se atasca pasándole el balón al primer compañero ignorando que otro está mejor posicionado para anotar. Este tipo de inercia o memoria es típico de sistemas con ruptura de simetría forzada.

Simetría y ruptura de simetría … en general

Cualquier obra de arte rompe la simetría, la homogeneidad y la aleatoriedad y crea estructuras espaciotemporales con patrones. Crea información. Es la formación de patrones a través de la ruptura de la simetría lo que unifica a la humanidad con la divinidad.

En este sentido, se puede considerar que todos los procesos, estructuras y productos funcionales naturales y hechos por el hombre provienen de una misma fuente. Este mecanismo está en función desde los momentos iniciales de nuestro Universo cuando se crearon fuerzas elementales a través de la ruptura de la simetría, dando lugar a los patrones físicos y químicos, a los patrones de defensa y ataque en partidos deportivos, patrones narrativos en novelas, patrones multinivel musicales y arquitectónicos. Los fenómenos naturales, psicológicos y sociales se vuelven uno.